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lim(tAnx%sinx)/(sinx)3

lim(x→0)(tanx-sinx)/(sinx)^3 =lim(x→0)tanx(1-cosx)/x^3 =lim(x→0)x*(1/2x^2)/x^3 =1/2

lim(tanx-sinx/sin³x)=lim(1-cosx)/sin²x=lim 2sin²(x/2)/sin²x=(x²/2)/x²=1/2 x→0

见图。

运用泰勒公式,易知 二分之一 (把常用的泰勒公式背下来口算这类题目)

注意在x趋于0的时候, tanx、sinx和x 都是等价的, 即tanx/x、sinx/x的极限值都是 1 所以得到 tanx -sinx=tanx *(1-cosx) 而1-cosx 等价于0.5x^2, 于是原极限=lim(x->0) x *0.5x^2 /x^3= 0.5 故极限值为0.5

无穷近似值代换,二倍角公式 =lim(1-cosx)/x²limtanx/x =lim2sin²(x/2)/x² =lim2(x/2)²/x² =1/2

前两个等式写的不对,因为有限个极限写成线性之和是在每个单项极限都存在才成立,而本题中,每个单项极限都不存在。先消去sinx,再利用洛必达法则,结果为1/2

因为tanx精确的说是近似与x/√(x*x+1),这类应用无穷近似值求极限不能简单粗暴的把lim(A+B)拆成=limA+limB,而得先应用三角函数转化,把(tanx-sinx)=(1-cosx)sinx/cosx=2sin(x/2)sin(x/2)sinx/cosx再应用替换,基本都必须把和差形变...

lim(x->0) (sinx-tanx)/(sinx)^3 (0/0) =lim(x->0) (cosx-(secx)^2)/[3(sinx)^2.cosx] =lim(x->0) [(cosx)^3-1 ]/[3(sinx)^2.(cosx)^3] (0/0) =lim(x->0) [-3(cosx)^2. sinx ]/[3(-3(sinx)^3.(cosx)^2+2sinx(cosx)^4) ] =lim(x->0) -1/[(-3(sinx...

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